RISOLVERE EQUAZIONI DI 3°, 4° GRADO (o piu') CON UN ACQUARIO.
..e i pesci non danno fastidio :)

Da un progetto storico: "Il calcolatore idrostatico".

Materiale occorrente:
Un acquario (la dimensione non ha importanza e in alternativa anche una pentola grande potrebbe andar bene)
Del gesso
Un righello di plastica lungo almeno 30cm
Un tubo di ferro alto 20Cm e di almeno 3cm come diametro
Del filo da pesca
Un piccolo cuneo di legno
Un ago

Premessa introduttiva:

Si utilizza una semplice bilancia autocostruita con un righello di plastica, un cuneo di legno e un ago il tutto poggiante su un cilindro di ferro sito all'interno di un acquario (ovviamente pieno d'acqua).
Si attaccano alla bilancia in punti prefissati ( lontani dal centro in maniera direttamente proporzionale ai parametri dei fattori dell'equazione da risolvere) dei solidi in gesso impermeabilizzati con vernice idrorepellente.
Il principio di Archimede permettera' di trovare la soluzione.
"Un corpo immerso nell'acqua riceve dal basso una spinta uguale e contraria pari al peso (e quindi al volume) dell'acqua che sposta."
I solidi costruiti in modo tale da bilanciare le potenze delle variabili nell'equazione (x=cilindro, x^2=paraboloide, x^3=cono .. ecc..) sposteranno a loro volta un quantitativo di acqua pari al loro volume sommerso..
Quando la loro posizione sbilanciata sara' riequilibrata dall'aggiunta di X cm di acqua nell'acquario sapremo che X e' rappresentazione diretta della prima radice risolutiva dell'equazione iniziale.

La trattazione completa sul principio di funzionamento e' in fondo a questo articolo.

La mia parte relativa alla costruzione matematica dei solidi generici per il calcolatore.
. Costruzione matematica generalizzata

COSTRUZIONE MATEMATICA GENERICA DEI SOLIDI
NECESSARI ALL'ACQUARIO CALCOLATORE

(La qualita' del -testo- non e' delle migliori ma con la conversione da progetto 
ad HTML fatta da Mathematica non potevo sperare di meglio.)

	Questa e' una foto del solido costruito:

	 Per costruire questo paraboloide sara' necessario
	stampare la curva di questa funzione su un foglio di
	carta, quindi costruirsi con del lamierino di ferro
	una striscia resistente che segua la curva con una 
	dimensione in larghezza di circa 1/2 centimetro.

	Questa striscia sagomata servira' per tracciare 
	all'interno del gesso semi indurito il solido.
	In pratica una specie di integrale di rivoluzione
	fatto a mano. ;-)

[Graphics:acqua/index_gr_32.gif]

[Graphics:acqua/index_gr_37.gif]

[Graphics:acqua/index_gr_42.gif]

[Graphics:acqua/index_gr_48.gif]

[Graphics:acqua/index_gr_51.gif]

Parte relativa alla costruzione tratta dall'articolo originale:
. Il principio dell'apparecchio

Un modo relativamente semplice per risolvere le equazioni di terzo grado e' quello di trasformarle in una equazione in cui e' stato eliminato il termine di secondo grado. Cioe' una equazione di terzo grado generale: x^3+ax^2+bx+c=0 si puo' trasformare ponendo y=x+a/3 in una equazione del tipo y^3+py+q=0 La risoluzione di questa equazione si puo' allora ottenere per via grafica intersecando una parabola cubica con una retta. La stessa equazione si puo' risolvere per mezzo di una bilancia idrostatica. Questo metodo si applica anche alla risoluzione di equazioni di grado superiore, per esempio di quarto, quinto grado e maggiore ancora. Consideriamo una equazione di terzo grado in forma generale. Supponiamo di avere trovato una radice reale di questa equazione, ciõ un numero r il quale, sostituito al posto della x nella equazione, rende soddisfatta l'identita' espressa dalla sua scrittura. Si puo pero' non conoscere esattamente r ma un valore poco piu grande di r, oppure piu piccolo. In questi casi 1'identita' non sari soddisfatta, tuttavia se rimpiccioliamo o ingrandiamo r della quantita' bastante per arrivare al valore esatto, l'iden- tita' sara' di nuovo soddisfatta. In un certo senso possiamo allora ridurre la nostra risoluzione ad un problema di equilibrio. Costruiamo, per ora solo in modo immaginario, una bilancia la quale abbia due bracci uguali e divisi per mezzo di due scale, Ai due estremi dei bracci sono disposti due piatti che portano dei pcsi, i cui valori verranno stabiliti piu avanti. Lungo i bracci e possibile appendere, in posizione opportuna, un cilindro, un paraboloide e un cono, aventi tutti la stessa altezza h e scelti in modo tale che il loro volume sia uguale rispettivamente ad h, h^2, h^3, in definitiva il volume dipende solo da una potenza dell'altezza del solido. Il cilindro quindi deve avere sezione unitaria, il cono un'apertura di 44"20' e il paraboloide si ottiene dalla rotazione della parabola di equazione y = Sqr[2x/Pi]. Questi tre corpi sono costruiti in un materiale solido e impermeabile, come potrebbe essere il legno o il gesso verniciato. Fissiamo i tre solidi in una posizione e, successivamente, immergiamoli in un liquido, contenuto in una vasca, il cui livello sale continuamente: allora su di essi verra esercitata una spinta verso l'alto e questa servira' a rompere l'equilibrio della bilancia. La spinta che viene esercitata su ciascun corpo solido e' proporzionale alla parte immersa; a mano a mano che il livello del liquido sale la spinta sul primo solido sara' proporzionale direttamente alla salita del liquido, per il secondo sara' proporzionale al quadrato della salita, per il terzo alla terza potenza della salita. Il contributo allo sbilanciamento della bilancia dipendera' non solo dalla parte immersa di ciascuno, ma anche dal braccio, cioe' dalla distanza alla quale ciascun corpo e' appeso sul braccio relativo. Vediamo ora come la bilancia puo' cssere utilizzata per risolvere le equazioni di terzo grado. Si vuota il recipiente del liquido e si pone ciascun solido a una distanza, dal centro della bilancia, proporzionale al coefficiente del termine corrispondente dell'equazione. Il termine x ha coefficiente 1 e va quindi disposto a distanza unitaria; x^2 ha coefficiente a e va quindi posto a distanza "a", e cosi via. In queste condizioni la bilancia non e' in equilibrio, perche ciascun solido ha una propria forza diretta verso il basso, dovuta al peso. Annulliamo i movimenti esercitati dai solidi per mezzo di pesi che disponiamo su di un piatto della bilancia, per esempio quello di sinistra. Alla fine, raggiunto l'equilibrio, impostiamo il valore del termine noto che e' realizzato solo da un peso posto a distanza unitaria. In queste condizioni la bilancia sara' sbilanciata e noi potremo ristabilire l'equilibrio versando acqua a poco a poco finche questa, salendo, produce una spinta su ciascun solido, capace di equilibrare di nuovo la bilancia stessa. Abbiamo preparato, nel frattempo, una scala graduata (divisa in mm) la quale ha lo zero nel punto in cui sono allineati i vertici inferiori dei solidi che danno la spinta di Archimede. Il livello che viene raggiunto dal liquido da direttamente la soluzione della equazione. Per questo motivo occorre graduare la scala in centimetri.

. La costruzione della bilancia

LA COSTRUZIONE DELLA BILANCIA IDROSTATlCA La costruzione della bilancia richiede una certa cura se si vogliono ottenere risultati abbastanza precisi. E' necessario innanzitutto prendere in considerazione i1 recipiente nel quale verra' fatta salire I'acqua. In questo recipiente dovra' trovare posto la bilancia; percio' le sue dimensioni condizioneranno quelle di tutta la costru- zione. Osserviamo ora che si puo usare una vasca di vetro fuso, la precisione con la quale e' costruita non ha nessuna importanza. Nel centro di questa vasca dovremo appoggiare la colonna di metallo che sopportera' il giogo della bilancia. Usiamo metallo (per esempio un tubo di ottone riempito di cemento o gesso) allo scopo di evitare che, immettendo acqua nel recipiente, galleggi. Occorre inoltre alla colonna un piede largo allo scopo di evitare che dondoli o cada; il piede puo' essere largo come tutta la base della vasca. In cima al pilastro poniamo un supporto sagomat che sosterra il giogo. Questo puo' venire realizzato mediante legno: un listello simmetricamente graduato. La graduazione deve essere precisa. Si puo effettuare riportando una scala graduata di un righello, oppure la si puo' anche disegnare, il che e' meglio in quanto occorre una suddivisione particolare per poter eseguire in modo esatto l'esperienza. Supponiamo, per, esempio, che ciascun braccio abbia la lunghezza di 10 cm. Se all'estremita', cioe' a d=10 cm dal fulcro, si pone il peso P, corrispondente al termine noto, il tratto intermedio va diviso allora in 10 parti di 1 cm. In questo caso il punto di sospensione dei vari solidi equivale a un coefficiente di valore frazionario dell'unita, da 0 a 1, poiche', come si e' detto nel testo, il peso va disposto a distanza unitaria, quindi la nostra unita' e' ora d. Sulla scala graduata possiamo allora disporre una di- visione corrispondente a 0, 0,1, 0,2 ecc. fino a 1. Occorre anche un indice il quale serve per mettere in evidenza quando si raggiunge I'equilibrio.

. La costruzione dei solidi

LA COSTRUZIONE DEI SOLIDl I solidi richiedono molta attenzione per essere perfettamente sagomati, si usa il tegno perche' e un materiale adatto per ottenere solidi di perfetta forma e abbastanza leggero ma anche il gesso impermeabilizzato con vernice idrorepellente andra' benone. Incominciamo con quello cilindrico. II suo diametro deve essere di un valare tale che la sezione sia di 1 cm^3 e cosi, per ogni centimetro di immersione, peschera' 1 cm^3, dunque il suo diametro deve essere di 11,3 mm. Si tratta del solido piu' facile da realizzare. Si parte da una bacchetta di legno di diametro lievemente maggiore che verra' poi assottigliata per mezzo di carta vetrata. II secondo solido e il cono. ll suo volume deve essere di 1 cm^3 al primo centimetro di immersione, dal che si deduce che la semiapertura del vertice deve essere di 44'20'. Questo cono si puo anche realizzare mediante gesso (come pure il primo cilindro), se costruito un poco abbondante si puo' poi ridurre di dimensioni mediante carta vetrata. Il terzo solido e' piu' difficile in quanto occorre dargli un profilo parabolico. La parabola che si deve tracciare ha per equazione, sviluppata, in un piano: y = Sqr[2x/Pi] . Da un disegno accurato di questa parabola si puo' trarre una dima che servira' per controllare la perfezione del lavoro di sagomatura del solido a segmento parabolico. I solidi, una volta costruiti, vanno poi pitturati accuratamente con molte mani di vernice assolutamente impermeabile come, per esempio, una vernice alla nitrocellulosa. Quando sono perfettamente lucidi sull'esterno e' giunto il momento di cessare di dare pittura,

. Prove

L'IMPIEGO - Questa fotografia mostra la bilancia terminata e montata in modo da permettere la risoluzione dell'equazione: x^3 - 6x^2 + 7x + 2 = 0 Si noti che non si e' ancora posto il termine noto sul piatto sovrastante il cono. Dopo aver messo il peso si fa salire l'acqua nella vasca fino a raggiungere I'equilibrio. Leggiamo sulla scala graduata a cosa corrisponde la parte coperta dall'acqua: la soluzione appare essere x = 2. Abbiamo trovato una sola soluzione per la nostra equazione che ne ha, in generale, tre. Le altre due si possono trovare dividendo l'equazione per (x-2), riducendola cosi' di secondo grado. Notiamo incidentalmente che la stessa bilancia puo servire, semplicemente non utilizzando il solido parabolico, a risolvere equazioni di secondo grado; oppure, con un quarto solido, di profilo opportuno, a risolvere equazioni di quarto grado. A questo punto, pero' la precisione della soluzione dipende troppo dalla perfezione con la quale si sono lavorati i solidi. Lo stesso principio e' applicabile anche alla risoluzione di equazioni di grado piu' elevato oppure a meccanismi esclusivamente elettrici che permettano di simulare la crescita lineare, parabolica ecc. di una certa grandezza, con il crescere della grandezza pilota.